Question

如图甲所示，空间存在着一个范围足够大的竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.边长为l的正方形金属框abcd（下简称方框）放在光滑的水平地面上，其外侧套着一个与方框边长相同的U形金属框架MNPQ（下简称U形框），U形框与方框之间接触良好且无摩擦.两个金属框每条边的质量均为m，每条边的电阻均为r.

    

甲                                         乙

（1）将方框固定不动，用力拉动U形框使它以速度v₀垂直NQ边向右匀速运动，当U形框的MP端滑至方框的最右侧,如图乙所示时，方框上的bd两端的电势差为多大?此时方框的热功率为多大?

（2）若方框不固定，给U形框垂直NQ边向右的初速度v₀，如果U形框恰好不能与方框分离，则在这一过程中两框架上产生的总热量为多少?

（3）若方框不固定，给U形框垂直NQ边向右的初速度v(v＞v₀)，U形框最终将与方框分离.如果从U形框和方框不再接触开始，经过时间t方框最右侧和U形框最左侧距离为s，求两金属框分离后的速度各是多大.

Answer 1

（1）U形框向右运动时，NQ边相当于电源，产生的感应电动势E=Blv₀,当如题图乙所示位置时，方框bd之间的电阻为R_bd==r，U形框连同方框构成的闭合电路的总电阻为：R=3r+R_db=r，闭合电路的总电流为I==

根据欧姆定律可知，bd两端的电势差为：U_bd=IR_bd=

方框中的热功率为：P=I²R_bd=.

（2）在U形框向右运动的过程中，U形框和方框组成的系统所受外力为零，故系统动量守恒.设到达图示位置时具有共同的速度v，根据动量守恒定律

3mv₀=(3m+4m)v，解得：v=v₀.

根据能量守恒定律，U形框和方框组成的系统损失的机械能等于在这一过程中两框架上产生的热量，即Q=×3mv₀²-×7mv²=mv₀².

（3）设U形框和方框不再接触时方框速度为v₁，U形框的速度为v₂，根据动量守恒定律，有3mv=4mv₁+3mv₂

两框架脱离以后分别以各自的速度做匀速运动，经过时间t方框最右侧和U形框最左侧距离为s，即(v₂-v₁)t=s

联立以上两式，解得：v₁=(v-),v₂=(3v+).