Question

3．如图所示，在以O为圆心、半径为R的圆周上有A、B两点，OA、OB的夹角为α，A点放置一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，B点放置一质量为m、电荷量为2q的带负电粒子，圆心O点放置一电荷量为Q的正点电荷，A、B两带电粒子均绕O点沿顺时针方向做匀速圆周运动，不计彼此间的万有引力以及A、B间的库仑力，已知静电力常量为k₀，求：
（1）粒子A绕O点做圆周运动的线速度大小；
（2）粒子B绕O点做圆周运动的角速度；
（3）经过多长时间粒子A、B第一次相遇．

Answer 1

分析 （1、2）根据牛顿第二定律，结合引力提供向心力，即可求解；
（3）根据以上所求得角速度表达式，结合B必须比A多绕（2π-α），才能追上A，从而即可求解．

解答 解：（1）根据引力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：${k}_{0}\frac{Qq}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{\frac{{k}_{0}Qq}{mR}}$
（2）根据引力提供向心力，则有：${k}_{0}\frac{2Qq}{{R}^{2}}=m{ω}^{2}R$，
解得：ω=$\sqrt{\frac{{2k}_{0}Qq}{m{R}^{3}}}$
（3）同理：${ω}_{A}=\sqrt{\frac{{k}_{0}Qq}{m{R}^{3}}}$，
由题意可知，B必须比A多绕（2π-α），才能追上A；
因此（2π-α）=（ω-ω_A）•△t；
解得：△t=$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{{k}_{0}Qq}}$．
答：（1）粒子A绕O点做圆周运动的线速度大小为$\sqrt{\frac{{k}_{0}Qq}{mR}}$；
（2）粒子B绕O点做圆周运动的角速度为$\sqrt{\frac{{2k}_{0}Qq}{m{R}^{3}}}$；
（3）经过$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{{k}_{0}Qq}}$时间粒子A、B第一次相遇．

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握万有引力定律与向心力表达式的内容，注意当能相遇时，B比A多绕多少角度是解题的关键