Question

13．如图甲，空间四个区域分布着理想边界的匀强电场和匀强磁场：L₁与L₂之间有竖直向上的匀强电场E₁，L₂与L₃之间有平形于L₂的交变电场E₂，E₂随时间变化的图象如图乙所示（设向右为正方向），L₃与L₄之间有匀强磁场B₁，L₄上方有匀强磁场B₂，B₂=2B₁，边界L₄上某位置固定一绝缘挡板P（厚度不计，且粒子与挡板碰撞没有能量损失），P的中垂线与L₁交于O点．t=0时刻在O点释放一带正电粒子（不计重力），粒子经电场E₁加速后进入电场E₂，经E₂偏转后进入磁场B₁，在磁场B₁中恰好绕P的中点做圆周运动，此后又恰好回到O点，并做周期性运动，已知量有：粒子的质量为m=10^-10kg，电荷量为q=10^-10C，E₁=1000V/m，E₂=100V/m，L₁与L₂的间距d₁=5cm，L₂与L₃的间距d₂=$\sqrt{3}$m．求：
（1）粒子进入电场E₂时的速度v₀
（2）磁感应强度B₁的大小
（3）若粒子在t=T时刻刚好返回O点，则T的值是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动，应用匀变速直线运动的位移公式与动能定理求出时间与速度．
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，应用类平抛运动的规律求出粒子的速度，粒子在磁场中作呕匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（3）求出粒子在各阶段的运动时间，然后求出时间T．

解答 解：（1）粒子在L₁与L₂间经电场E₁加速，设加速时间为t₁，
由匀变速直线运动的位移公式得：d₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
根据动能定理有：qE₁d₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，解得：t₁=0.01s，v₀=10m/s；
（2）粒子在L₂与L₃间经电场E₂偏转，做类平抛运动，
设粒子偏转时间为t₂，偏转加速度为a₂，越过L₃时速度为v，
其沿L₃的分速度为v_x，有：d₂=v₀t₂，解得：t₂=$\frac{\sqrt{3}}{10}$s，
由牛顿第二定律得：a₂=$\frac{q{E}_{2}}{m}$=$\frac{1{0}^{-10}×100}{1{0}^{-10}}$=100m/s²，
水平速度：v_x=a₂t₂=100×$\frac{\sqrt{3}}{10}$=10$\sqrt{3}$m/s，速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（10\sqrt{3}）^{2}}$=20m/s，
设粒子越过L₃时离OP的距离为x，且与L₃的夹角为θ，
有：x=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×100×$（\frac{\sqrt{3}}{10}）^{2}$=1.5m，sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，解得：θ=30°，
故粒子在磁场B₁中做圆周运动的半径为：r=$\frac{x}{sin30°}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m，
洛仑兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B₁=$\frac{20}{3}$T；
（3）据题意，粒子在0-0.5T内运动到P点，轨迹关于OP对称
在电场E₁中运动的时间为：2t₁=0.02s，
在电场E₂中运动的时间为：2t₂=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s，
在磁场B₁中运动的时间为：t₃=2×$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=0.1πs，
在磁场B₂中运动的时间为：t₄=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=0.15πs，
周期：T=t₁+t₂+t₃+t₄=（0.02+0.2$\sqrt{3}$+0.25π）s；
答：（1）粒子进入电场E₂时的速度v₀为10m/s；
（2）磁感应强度B₁的大小为$\frac{20}{3}$T；
（3）若粒子在t=T时刻刚好返回O点，则T的值是（0.02+0.2$\sqrt{3}$+0.25π）s．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在加速电场中做匀加速直线运动，在偏转电场中做类平抛运动，在运动磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、洛伦兹力公式即可解题；要掌握处理粒子在电场与磁场中的运动问题的方法．