Question

如图甲所示，在空心三棱柱CDF以外足够大的空间中，充满着磁感应强度为B的匀强磁场。三棱柱的轴线与磁场平行，截面边长为L，三棱柱用绝缘薄板材料制成，其内部有平行于CD侧面的金属板P、Q，两金属板间的距离为d，P板带正电，Q板带负电，Q板中心有一小孔，P板上与小孔正对的位置有一个粒子源S，从S处可以发出初速度为0、带电量为＋q、质量为m的粒子，这些粒子与三棱柱侧面碰撞时无能量损失。试求：

   （1）为使从S点发出的粒子最终又回到S点，P、Q之间的电压U应满足什么条件?（Q与CD之间距离不计）

   （2）粒子从S点出发又回到S点的最短时间是多少?

   （3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图乙所示，圆柱的轴线与三棱柱的轴线重合，且a＝（＋）L，要使S点发出的粒子最终又回到S点，则P、Q之间的电压不能超过多少?

 

Answer 1

⑴设粒子到达Q板小孔时的速度为υ，由动能定理得

     ①  （2分）

从小孔发出的粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，根据牛顿第二定律

     ②  （2分）

粒子能回到小孔的条件是： L＝2R（2n-1） （n＝1，2，3，…）     ③  （2分）

由①②③解得                （n＝1，2，3，…）     ④  （2分）

⑵粒子在磁场中做圆周运动的周期为   ⑤

当④式中n＝1时，粒子从S出发又回到S时间最短，粒子在磁场中分别以D、F、C为圆心做圆周运动，半径为   R＝     ⑥  （2分）

设粒子从S到小孔所用时间为t₁，则       ⑦  （2分）

粒子在磁场中运动的时间为          ⑧  （2分）

粒子从S点出发又回到S点的最短时间为  t＝2t₁＋t₂       ⑨  （1分）

由以上各式解得                       ⑩  （2分）

⑶设D点到磁场边界的最近距离为L₁，由已知条件得

        （2分）

从S发出的粒子要回到S，就必须在磁场区域内运动，即满足条件

               

由③④解得   （2分）

其他合理解答，同样给分。