Question

如图所示，A、B两小球大小相同，A绝 缘且不带电，B带正电，其质量之比为1：3，现让A 球从光滑绝缘的四分之一圆弧轨道的项点由静止 释放，当与静止在轨道最低点的B球发生完全弹性 碰撞后，B球飞入右边的匀强电场区．场强方向水平向左，最终B球恰好落至离抛出点的正下方h处的 C点，已知圆弧轨道半径为R，重力加速度为g．
求：（1）碰撞后，A球离C点的最大竖直高度； 
（2）B球的最大水平位移；
（3）B球受到的电场力F与重力G的大小之比．

Answer 1

分析：（1）由动能定理表示出A球与B球碰撞前的速度，运用动量守恒和机械能守恒研究A球与B球发生完全弹性碰撞．
求出A球碰撞后速度，分析运动情况，由机械能守恒求得答案．
（2）B球的运动分为两个分运动：水平方向匀减速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据各自的运动规律求解．
（3）运用运动学公式和牛顿第二定律结合进行比较．

解答：解：（1）设A球与B球碰撞前的速度为V_A，碰撞后的A、B的速度分别为V_A′和V_B′，则：
由动能定理得：

1

2

m_AV_A²=m_AgR  ①
由动量守恒得：m_AV_A=m_AV_A′+m_BV_B′②
A球与B球发生完全弹性碰撞机械能守恒，

1

2

m_AV_A²=

1

2

m_AV_A′²+

1

2

m_BV_B′²   ③
A、B质量之比为1：3，④
联立以上式子解得：
V_A′=-

2gR

2

  V_B′=

2gR

2

即A球反向运动．
设A上升到离圆弧轨道最低点的最大高度为H，由机械能守恒：

1

2

m_AV_A′²=m_AgH  ⑤
解得：H=

1

4

R
所以A球离C点的最大高度为h+

1

4

R．
（2）B球的运动轨迹如图中虚线，其运动分为两个运动：

即：水平方向匀减速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设B球运动时间为2t，
最大水平位移为S，由于两个分运动的等时性和水平方向的对称性得：

1

2

v_B′t=S    ⑥

1

2

g（2t）²=h    ⑦
解得：S=

Rh

4

    ⑧
（3）设电场力产生的加速度为a，S=

1

2

at²   ⑨
由⑦⑧⑨解得：

a

g

=

R h

所以

F

G

=

R h

．
答：：（1）碰撞后，A球离C点的最大竖直高度是h+

1

4

R； 
（2）B球的最大水平位移是

Rh

4

；
（3）B球受到的电场力F与重力G的大小之比

R h

．

点评：本题是力电综合问题，要明确两球的运动情况，将两球的运动分阶段讨论，对各个过程小球的受力情况要分析清楚，必要时可画出受力分析图；
对于B做的曲线运动，我们处理的思路应该是分解．