Question

如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v₀的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从ab边上射出磁场的v₀大小范围．
（2）如果带电粒子不受上述v₀大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与ab边相切时，轨迹半径最小，对应的速度最小．当其轨迹恰好与cd边相切时，轨迹半径最大，对应的速度最大，由几何知识求出，再牛顿定律求出速度的范围．
（2）粒子轨迹所对圆心最大时，在磁场中运动的最长时间．当其轨迹恰好与ab边相切或轨迹更小时，时间最长，求出圆心角，再求时间．

解答：解：（1）若粒子速度为v₀，则qv₀B=m

v 2 0

R

，所以有R=

mv0

qB

     设圆心在O₁处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v₀₁，则R₁+R₁sinθ=

L

2

         将R₁=

mv01

qB

代入上式可得，v₀₁=

qBL

3m

   同理，设圆心在O₂处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v₀₂，则R₂-R₂sinθ=

L

2

      将R₂=

mv02

qB

代入上式可得，v₀₂=

qBL

m

   所以粒子能从ab边上射出磁场的v₀应满足

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

．
（2）由t=

α

2π

T及T=

2πm

qB

可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长．在磁场中运动的半径r≤R₁时，
    运动时间最长，弧所对圆心角为α=（2π-2θ）=

5π

3

，所以最长时间为t=

α

2π

T=

5π 3

2π

?

2πm

qB

=

5πm

3qB

．
答：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v₀大小范围为

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

．
    （2）如果带电粒子不受上述v₀大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间为

5πm

3qB

．

点评：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．