Question

6．如图所示，一质量为M=5.0kg的平板车静止在光滑的水平地面上，平板车的上表面距离地面高h=0.8m，其右侧足够远处有一障碍A，一质量为m=2.0kg可视为质点的滑块，以v₀=8m/s的初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右的恒力F，当滑块运动到平板车的最右端时，二者恰好相对静止，此时撤去恒力F，当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小；
（2）恒力F的大小；
（3）平板车的长度．

Answer 1

分析 （1）从A到B由平抛运动求的B点的速度，从B到C得过程中，由动能定理求的C点速度，再根据向心力的公式可以求得再C点时受到的支持力的大小，再由牛顿第三定律可得滑块对轨道的压力；
（2、3）对滑块和小车分别受力分析，由牛顿第二定律可以求得加速度的大小，再根据匀变速直线运动的规律可以求得拉力和车的长度

解答 解：（1）从A点做平抛运动，在竖直方向，根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
竖直速度为v_y=gt=4m/s
到达B点水平方向速度为${v}_{x}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=3m/s$
B点的速度为${v}_{B}=\sqrt{{v}_{y}^{2}{+v}_{x}^{2}}=5m/s$
从B到C由动能定理mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
在C点${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
联立解得F_N=86N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力：F_N′=F_N=86N；
（2）由牛顿第二定律得：
对滑块：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²，
对平板车：a₂=$\frac{F+μmg}{M}$，
经过时间t₁，滑块与平板车相对静止，共同速度为υ，
则υ_x=υ₀-a₁t₁=a₂t₁，
代入数据解得：F=5N，t₁=1s
（3）滑块与平板车在时间t₁内通过的位移分别为：
x₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{x}}{2}$t₁，x₂=$\frac{{v}_{x}}{2}$t₁，
则平板车的长度：L=x₁-x₂，
代入数据解得：L=4m
答：（1）滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为86N；
（2）恒力F的大小为5n；
（3）平板车的长度为 4m

点评 分析清楚滑块在每个过程的运动状态，根据物体的运动的过程来逐个求解，本题中用到了匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动的规律，涉及的知识点较多，要求学生要熟练的应用每一部分的知识