Question

19．如图所示，质量为M的小车D静止在水平光滑的轨道上，一根长为L的细绳固定质量为m的球A，细绳的另一端固定在小车D上，另一根长为2L的细绳固定质量为2m的球B，另一端固定在O点，两细绳自由下垂时两小球正好相切，且两球心在同一水平线上．观将小球B拉至细绳成水平伸长状态后由静止释放，小球A、B发生弹性碰撞，碰撞时间极短，重力加速度为g．求：
（1）小球A、B碰撞前瞬间，碰撞时小球B的拉力大小；
（2）小球A、B碰撞后，A球上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）B球下摆的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求球B刚到最低点时速度大小．两球碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合求出碰后瞬间两球的速度，再由牛顿第二定律和向心力公式求细绳拉力的大小；
（2）根据动量守恒定律和机械能守恒定律求碰撞后A球的速度，碰后，再对A球和小车组成的系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律求碰撞作用后A球上升的最大高度．

解答 解：（1）B球下摆机械能守恒，则得：
2mg•2L=$\frac{1}{2}$•2m${v}_{0}^{2}$
得：v₀=2$\sqrt{gL}$
碰撞前瞬间，对B球，根据牛顿第二定律有：
F-2mg=2m$\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}$
代入解得：F=6mg
B球与A球碰撞，系统的动量和机械能守恒，取水平向右为正方向，则有：
 2mv₀=2mv₁+mv₂； 
 $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²；
联合解得：v₁=$\frac{1}{3}$v₀，v₂=$\frac{4}{3}$v₀．
碰撞后瞬间，对B球，根据牛顿第二定律有：
F′-2mg=2m$\frac{{v}_{1}^{2}}{2L}$
代入解得：F′=$\frac{22}{9}$mg
（2）A球上升时小车随之向右运动，系统水平方向动量守恒和机械能守恒，到最大高度时A球与小车速度相同，则有：
  mv₂=（m+M）v
  $\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh
联合解得：h=$\frac{32ML}{9（M+m）}$
答：（1）小球A、B碰撞前瞬间，碰撞时小球B的拉力大小分别为6mg和$\frac{22}{9}$mg．
（2）小球A、B碰撞后，A球上升的最大高度是$\frac{32ML}{9（M+m）}$．

点评 解决本题的关键要理清两球和小车的运动过程，抓住弹性碰撞的基本规律：系统的动量守恒和能量守恒，并能熟练运用．