Question

19．如图所示，小球从光滑的半径为t圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g），求：
（1）小球到达圆弧轨道的最低端时对轨道的作用力；
（2）转筒转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出离开圆弧轨道的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对球的支持力，从而得出球到达圆弧轨道的最低端时对轨道的作用力；
（2）抓住小球做平抛运动的时间与圆筒转动的时间相等，结合圆周运动的周期性求出转筒转动的角速度．

解答 解：（1）小球离开轨道到进入小孔的过程做平抛运动，由平抛规律，得
水平方向：L-R=v₀t，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
小球在轨道的最低点时，由牛顿第二定律，得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
由以上解得：F=mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$．
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$，方向竖直向下．
（2）小球在平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，即：
ωt=2nπ，
所以解得：$ω=nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1、2、3…）．
答：（1）小球到达圆弧轨道的最低端时对轨道的作用力为mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$，方向竖直向下；
（2）转筒转动的角速度$ω=nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1、2、3…）．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动的周期性是解决本题的关键．