Question

如图所示，竖直放置的气缸内盛有气体，上面被一活塞盖住，活塞通过劲度系数k＝600N/m的弹簧与气缸相连接，系统处于平衡状态，已知此时外界大气压强p0＝1.00×10⁵N/m2，活塞到缸底的距离l＝0.500m，缸内横截面积S＝1.00×10²m²，今在等温条件下将活塞缓慢上提到距缸底为2l处，此时提力为F＝500N，弹簧的原长l0应为多少？若提力为F＝700N，弹簧的原长l0又应为多少？

不计摩擦及活塞和弹簧的质量，并假定在整个过程中，气缸不漏气，弹簧都遵从胡克定律。

Answer 1

解答一：

设弹簧的原长为，气体原来压强为p，后来为p′，则由玻意耳定律可得

pl＝p′?2              ①

在原来状态下，活塞受力如图1所示，由力学平衡可得

pS＝p₀S＋k(-)         ②

在后来状态下,活塞受力如图2所示,由力学平衡可得

p′S＋F＝p₀S＋k(2－)   ③

由①、②、③联立解得：         ④

由式得：      ⑤  

当F＝500N时，由④式得p＝0.4p₀ 再代入⑤式得＝1.50m，可见在整个过程中弹簧始终处于压缩状态。

当F＝700N时，由④式得p＝0.8p₀ 再代入⑤式得＝0.833m，可见在过程开始时弹簧处于压缩状态，当活塞提高到距缸底距离超过＝0.833m后，弹簧被拉伸。

解答二：

设开始时弹簧的压缩量为(当得出为负值．则表示开始时弹簧被拉长)，原长为。依题意得方程：

p₀S＝pS＋kx              ①

p₀S＝p′S－k(－2x)＋F     ②

p′S?2(l₀－x) ＝pS(－x)     ③

＝l＋x                  ④

由①、②、③、④式联立，解得：     ⑤

当F＝500 N时，代入⑤式，得x＝1.00 m，＝1.50 m。

当F＝700 N时，代入⑤式，得x＝0.333 m，＝0.833 m。