Question

5．如图所示，正方形匀强磁场的边界长为a，边界由绝缘弹性壁围成，磁场的磁感应强度为B，质量为m、电荷量为q的带正电粒子垂直于磁场方向和边界从边界正中点O处射入磁场，其射入时的速度为$\frac{17Bqa}{8m}$，带电粒子与壁碰撞前后沿壁方向的分速度不变，垂直壁方向的分速度反向、大小不变，且不计摩擦，不计粒子所受重力，碰撞时无电荷量损失，求：
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）带电粒子从O孔射入到从O点射出所需要的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子轨道半径．
（2）求出粒子做圆周运动转过的圆心角，根据粒子做圆周运动的周期与运动过程求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{17}{8}$a；
（2）粒子轨道半径r=$\frac{17}{8}$a＞2a，粒子射到AB边上，设射到AB的点E到A的距离为x，由几何知识得：
r²=a²+[r-（$\frac{a}{2}-x$）]²，
解得：x=$\frac{a}{4}$，
设粒子从O到E的运动时间为t₁，如图所示：
sinθ=$\frac{a}{r}$=$\frac{8}{17}$，
则：θ=arcsin$\frac{8}{17}$，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
则：t₁=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$，
粒子在磁场区域要进行8次类似OE的曲线运动和2次匀速直线运动（绿色线的部分）才可以从O点射出，如图
粒子从D到A的匀速直线运动时间：t₂=$\frac{a}{v}$=$\frac{8m}{17qB}$，
则粒子从O射入到射出的时间：t=8t₁+2t₂=$\frac{8m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$+$\frac{16m}{17qB}$；
答：（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为$\frac{17}{8}$a；
（2）带电粒子从O孔射入到从O点射出所需要的时间为$\frac{8m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$+$\frac{16m}{17qB}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、周期公式即可正确解题．