Question

5．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动，春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了，已知地球的半径R_地=6.4×10⁶m．地面上的重力加速度为10m/s²．估算：（答案要求精确到两位有效数字）
（1）卫星轨道离地面的高度；
（2）卫星的速度大小．

Answer 1

分析 1、作出几何关系图，日落8小时Q点转过的角度θ=$\frac{8}{24}$×360°=120°，根据几何关系求解即可．
2、先根据万有引力等于重力解出卫星处的重力加速度，根据重力提供向心力列式，即可求出卫星的速度大小．

解答 解：（1）从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h，Q点日落后8小时时能看到它反射的阳光．
日落8小时Q点转过的角度设为θ，则有：θ=$\frac{8}{24}$×360°=120°
轨道高为：h=$\frac{{R}_{地}}{cos\frac{θ}{2}}$-R_地=6.4×10⁶m
（2）地面处，重力等于万有引力为：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
卫星处：mg′=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$
两式相比得：$\frac{g′}{g}$=${（\frac{R}{R+h}）}^{2}$
因为卫星轨道半径为：r=R+h=2R    
得：g′=$\frac{1}{4}$g=2.5m/s²
又因为，mg′=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{g′r}$=5.7×10³m/s．
答：（1）卫星轨道离地面的高度等于地球的半径，为6.4×10⁶m．
（2）卫星的速度大小为5.7×10³m/s．

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．对于卫星与地球的运动关系，要画出几何关系图，根据几何关系求解．