Question

9．如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω₁沿半径为a的圆周做匀速圆周运动．所有摩擦均不考虑．若突然松开手中的细线，经时间t再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动，t等于多大？这时的角速度ω₂为多大？

Answer 1

分析 当突然松开细线时，小球沿切线方向匀速飞出．当再次握住时，小球又做匀速圆周运动．由半径a与ω₁可求出飞出之前的速度．再由半径b，结合运动的分解可求出小球以半径b做匀速圆周运动的线速度．从而可求出此时的角速度．由于是匀速飞出，所以利用直角三角形，由长度a、b可求出时间．

解答 解：松手后小球由半径为a圆周运动到半径为b的圆周上，其间做的是匀速直线运动
如图所示：

则时间 t=$\frac{s}{{v}_{a}}$
其中v_a=ω₁a，s=$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$
解得 t=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{1}a}$
小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳和垂直绳的两个运动同时进行，
有v₂=v_asinθ=ω₁a•$\frac{a}{b}$，
即bω₂=ω₁a•$\frac{a}{b}$，得：ω₂=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ω₁．
答：t等于$\frac{\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{1}a}$，这时的角速度ω₂为$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ω₁．

点评 搞清小球做匀速圆周运动所需要的向心力来源，同时本题巧妙运用三角函数求出松手前后的线速度关系．值得注意是松手后小球做的是匀速直线运动．