Question

3．已知某行星半径为R，万有引力常量为G，以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为T，该行星的同步卫星运行速度为V，求：
①该行星的质量是多少？
②求该行星的自转周期？

Answer 1

分析 ①万有引力提供向心力，由万有引力公式与牛顿第二定律可以求出行星质量；
②万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出同步卫星的周期，然后求出行星的周期．

解答 解：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力；①由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得，行星的质量：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②对同步卫星，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$，
卫星的周期：T′=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$；
答：①该行星的质量是$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②求该行星的自转周期是$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$．

点评 同步卫星的周期与行星的周期相同，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题，要掌握万有引力定律应用的基本解题思路．