Question

4．如图，图中坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，沿xOy平面内向y≥0，x≥0的区域内的各个方向发射粒子．粒子的速率均为v，质量均为m，电量均为+q．有人设计了方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动，不考虑粒子间相互作用，不计粒子重力．试求：
（1）求粒子与x轴相交的坐标范围；
（2）求粒子与y轴相交的坐标范围；
（3）该匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力求出半径，结合图象求出与x轴相交的坐标范围；
（2）根据洛伦兹力提供向心力求出半径，结合图象求出与y轴相交的坐标范围；
（3）作图并求出最小磁场对应的阴影区域的面积；

解答 解：（1）设粒子做匀速圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$…①
解得：$R=\frac{mv}{qB}$…②
结合图象由②式可知，粒子与x轴相交的坐标范围为：0～$\frac{2mv}{qB}$
（3）结合图象由②式可知，粒子与y轴相交的坐标范围为：$0～\frac{2mv}{qB}$
（3）由题可知，匀强磁场的最小范围如图中的阴影区域所示
第一象限区域一个半径为R的半圆面积为：${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}π{R}_{\;}^{2}$
第二象限区域四分之一圆的面积为：${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{4}π（2R）_{\;}^{2}=π{R}_{\;}^{2}$
第二象限一个半径为R的半圆面积为：${S}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}π{R}_{\;}^{2}$
则阴影部分面积为：$△S={S}_{1}^{\;}+（{S}_{2}^{\;}-{S}_{3}^{\;}）$=$π{R}_{\;}^{2}$=$\frac{π{m}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$
答：（1）粒子与x轴相交的坐标范围$0～\frac{2mv}{qB}$；
（2）粒子与y轴相交的坐标范围$0～\frac{2mv}{qB}$；
（3）该匀强磁场区域的最小面积$\frac{π{m}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$

点评 在带电粒子在磁场中运动中，要注意圆心及半径的确定；同时应利用好几何关系；此类问题对学生的要求较高，要求学生具有较好的数学功底；在做题时，要注意画图．