Question

（2006?青浦区模拟）两颗靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，靠相互吸引力一起以连线上某一点为圆心分别作圆周运动，从而保持两者之间的距离不变，这样的天体称为“双星’．现测得两星中心距离为R，运动周期为T，求：双星的总质量．
解：设双星的质量分别为M₁、M₂．它们绕其连线上的O点以周期T作匀速圆周运动，由万有引力定律及牛顿第二定律得：G

M1M2

R2

=M1(

2π

T

)2R，G

M1M2

R2

=M2(

2π

T

)2R联立解得：M1+M2=

8π2R2

GT2

上述结果是否正确？若正确，请列式证明：若错误，请求出正确结果．

Answer 1

分析：双星以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，向心力由对方的万有引力提供，而且双星的条件是角速度相同，根据牛顿第二定律隔离两个天体分别研究，再求双星的总质量．双星之间的距离等于两个天体的轨道半径之和．

解答：解：解法错误，两星的转动半径不是R，分别为x与（R-x）    
正确的解法为：G

M1M2

R2

=M1(

2π

T

)2x
G

M1M2

R2

=M2(

2π

T

)2(R-x)
联立解得：M1+M2=

4π2R3

GT2

即双星的总质量是

4π2R3

GT2

．

点评：本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：周期相同．