Question

9．如图所示，MN与PQ是两条水平放置的平行固定金属导轨，导轨间距为l=0.5m．质量m=1kg，电阻r=0.5Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B₀=2T，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，导轨电阻不计．t=0时刻ab杆受水平拉力F的作用，由静止状态从MP处开始向右作匀加速运动，ab与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，4s末ab杆的速度为v=2m/s，g=10m/s²．则：
（1）求4s末拉力F的大小；
（2）前4s内，电阻R上产生的焦耳热为0.4J，求这过程中水平拉力F做的功；
（3）若4s以后，ab杆仍以原来的加速度运动，要使回路的电流为0，磁感应强度B随时间变化的函数关系式如何（B≠0）？

Answer 1

分析 （1）先根据运动学公式求解加速度和速度；然后根据牛顿第二定律列式求解拉力的大小；
（2）由电阻R上产生的焦耳热为0.4J可求金属杆ab上产生的焦耳热，金属杆ab和电阻R上产生的焦耳热在数值上等于克服安培力的功，而后对金属杆ab运用能量守恒列方程，便可求得这段时间内水平拉力F做的功；
（3）要使回路电流为0，任何一段时间内△Φ=0．

解答 （1）导体棒运动的加速度为：
a=$\frac{v}{t}$=$\frac{2}{4}$=0.5m/s²
$E={B_0}lv，I=\frac{E}{R+r}$，
安培力为：${F_安}=\frac{{B_0^2{l^2}v}}{R+r}$
由牛顿第二定律可得：F-μmg-F_安=ma
联立上式解得：第4s末拉力F=2.3N
（2）电阻R上产生的热量为0.4J
J则导体棒上产生的热量为0.1J，
即总热量为Q=0.5J
由能量守恒可得：${W_F}=μmg{x_0}+\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
而${x_0}=\frac{1}{2}vt=4m$
所以：W_F=6.5J
（3）要使回路电流为0，任何一段时间内△Φ=0（或Φ₁=Φ₂）
4s时，回路的磁通量Φ₁=B₀x₀l
t时刻，回路的磁通量Φ₂=Bxl
$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
得：$B=\frac{32}{t^2}$（t＞4s）
答：（1）4s末拉力F的大小为2.3N；
（2）前4s内，电阻R上产生的焦耳热为0.4J，这过程中水平拉力F做的功为6.5J；
（3）若4s以后，ab杆仍以原来的加速度运动，要使回路的电流为0，磁感应强度B随时间变化的函数关系式：$B=\frac{32}{t^2}$（t＞4s）．

点评 本题关键是明确电路结构、杆的受力情况和能量的转化情况，然后结合切割公式、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式、功能关系列式求解，注意感应电流产生条件为磁通量变化．