Question

11．如图所示，在直角坐标系xOy平面内，第二象限中虚线MN平行于y轴，N点坐标为（-L，0），其左侧有水平向左的匀强电场E₁，MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场E₂，E₁、E₂均未知，在第一、三、四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B未知．现有一质量为m、电荷量为q的负粒子从图中A点静止释放，不计粒子重力，粒子到达MN上的P点是速度为v₀，速度方向水平，粒子从y轴上的C点（0，0.5L）与y轴负方向成30°角进入磁场，偏转后从x轴上的D点（图中未画出）垂直x轴穿出磁场并进入MN左侧电场且刚好又击中P点，求：
（1）匀强电场的电场强度E₂的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）匀强电场的电场强度E₁的大小．

Answer 1

分析 （1）研究粒子在电场E₂中的类平抛运动，由分速度公式和牛顿第二定律结合求解E₂．
（2）画出粒子在磁场中圆周运动的轨迹，由几何关系求出轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力，列式求解B．
（3）由几何关系求出AP间的距离，由动能定理求E₁．

解答 解：（1）粒子在电场E₂中作类平抛运动，刚进入磁场时沿y轴负方向的分速度为：v_y=v₀cot30°=$\sqrt{3}$v₀；
又 v_y=at=$\frac{q{E}_{2}}{m}t$，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得：E₂=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（2）粒子进入磁场时的速度大小为：v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v₀；
结合题意，画出轨迹如图．设粒子圆周运动的半径为r，则有：r=$\frac{0.5L}{sin30°}$=L
根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
（3）粒子离开磁场再进入电场后作类平抛运动，沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，与粒子从A到P的运动情况相同，由几何关系可知，AP间的距离为：
s=2L-L-L（1-cos30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L
粒子从A运动到P时，由动能定理得：
qE₁s=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：E₁=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qL}$
答：（1）匀强电场的电场强度E₂的大小为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）匀强电场的电场强度E₁的大小为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qL}$．

点评 粒子做类平抛时，由牛顿第二定律与运动学公式相结合来综合运用；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系结合处理，同时要抓住各个过程间之间的关系，比如距离关系进行解答．