Question

（18分）如图在xoy平面内有平行于x轴的两个足够大的荧光屏M、N，它们的位置分别满足y=l和y=0，两屏之间为真空区域。在坐标原点O有一放射源不断沿y轴正方向向真空区域内发射带电粒子，已知带电粒子有两种。为探索两种粒子的具体情况，我们可以在真空区域内控制一个匀强电场和一个匀强磁场，电场的场强为E，方向与x轴平行，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xoy平面。
试验结果如下：如果让电场和磁场同时存在，我们发现粒子束完全没有偏转，仅在M屏上有一个亮点，其位置在S（ 0 , l ）；如果只让磁场存在，我们发现仅在N屏上出现了两个亮点，位置分别为P（ -2l ， 0 ）、Q（ ，0 ），由此我们可以将两种粒子分别叫做P粒子和Q粒子。已知粒子间的相互作用和粒子重力可以忽略不计，试求（坐标结果只能用l表达）：

（1）如果只让磁场存在，但将磁场的磁感应强度减为B₁= ，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；
（2）如果只让电场存在，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；
（3）如果只让磁场存在，当将磁场的磁感应强度变为B₂= kB时，两种粒子在磁场中运动的时间相等，求k的数值。

Answer 1

（1）P粒子亮点位置（，l ）  Q粒子仍打在N屏上，易得亮点位置（l，0）
（2）（，l）、（-2l，l） （3）

试题分析：（1）当磁场B和电场E同时存在时，两种粒子都受力平衡，都满足
Eq=Bqv
所以两种粒子速度相同都为v=                 ①（2分）
当仅存在磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，两种粒子都满足
得               ②（2分）
当磁场强度为B时，
P粒子的轨道半径r₁=l，Q粒子轨道半径为r₂=            ③
由②可知当磁场为B₁减半时，两粒子做圆周运动的半径都加倍，此时 r₁′=2l，r₂′=
此时P粒子将打在M屏上，由几何关系可求出落点横坐标

所以P粒子亮点位置（，l ）                （1分）
而Q粒子仍打在N屏上，易得亮点位置（l，0）         （1分）

（2）由上问①②③式，可得两粒子的荷质比及其与E、B的关系，对P、Q分别有
                ④
                ⑤（1分）
当仅存在电场时，P粒子将向右偏，y方向分运动为匀速直线运动
vt=l                     ⑥（1分）
x方向分运动为受电场力下的匀加速直线运动，有
                 ⑦
                ⑧（1分）
结合④⑥⑦可得
               ⑨（1分）
由①④⑨可得
x₁=
同理可以求得Q粒子在-x方向的偏转位移为
x₂=2l 
故P、Q两粒子打在屏上的位置坐标分别为（，l）、（-2l，l）。 （2分）
（3）由②和③可以得出结论，不论磁场为多少，P、Q两粒子的轨道半径R₁：R₂=4：1不变。因为两粒子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须为θ₁：θ₂=1：4。
如图粒子打在M屏上时，其运动轨迹圆弧圆心角θ（锐角）与半径R满足l=Rsinθ，不可能满足R₁：R₂=4：1和θ₁：θ₂=1：4。所以两粒子都打在M屏上不可能满足要求。    （2分）
两粒子都打在N屏上，圆心角都为π也不能满足要求。  （2分）
所以结果必然为P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=。
由几何关系易得此时R₁=l，结合②③可求得此时
B₂= ，k=   （2分）