Question

如图所示，质量为m的U型金属框M′MNN′，静放在倾角为θ的粗糙绝缘斜面上，与斜面间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；MM′、NN′边相互平行，相距L，电阻不计且足够长；底边MN垂直于MM′，电阻为r；光滑导体棒ab电阻为R，横放在框架上；整个装置处于垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．在沿斜面向上与ab垂直的拉力作用下，ab沿斜面向上运动．若导体棒ab与MM′、NN′始终保持良好接触，且重力不计．则：
（1）当导体棒ab以速度v₀匀速时，框架保持静止，求此时ab两端的电压以及作用在ab上的拉力大小．
（2）当框架恰好将要沿斜面向上运动时，导体棒ab的速度v是多少？
（3）在第（1）问中，为使导体棒ab没有电流，可让磁感应强度大小随时间发生变化．设t=0时的磁感应强度大小为B₀，ab与MN相距d₀，请写出磁感应强度大小随时间变化的表达式．

Answer 1

分析：（1）由法拉第电磁感应定律求解电动势，由闭合电路欧姆定律求解ab两端的电压，导体棒ab以速度v₀匀速，重力不计，故拉力等于安培力；
（2）当框架恰好将要沿斜面向上运动时，对框架受力分析，列沿斜面方向的平衡方程，可得MN棒所受安培力的大小，进而求得电流，应用闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律求得导体棒ab的速度；
（3）为使导体棒ab没有电流，应穿过abMN回路磁通量保持不变，据此写出感应强度大小随时间变化的表达式．

解答：解：（1）ab中的感应电动势E₀=BLv₀ 
回路中电流I0=

E0

R+r

 
ab两端的电压U=I0r=

BLv0r

R+r

 
作用在ab上的拉力大小 F拉=F安=BI0L=

B2L2v0

R+r

；
（2）当框架恰好将要沿斜面向上运动时，MN受到的安培力：
F_安=BIL=mgsinθ+μmgcosθ
故：I=

mg(sinθ+μcosθ)

BL

又I=

E

R+r

 
由法拉第电磁感应定律得：E=BLv 
解得：v=

mg(R+r)(sinθ+μcosθ)

B2L2

；
（3）要使导体棒ab没有电流，则通过回路abNM的磁通量不变，有：
B₀d₀L=BL（v₀t+d₀）                         
解得：B=

B0d0

v0t+d0

；
答：（1）此时ab两端的电压为

BLv0r

R+r

，作用在ab上的拉力

B2L2v0

R+r

（2）当框架恰好将要沿斜面向上运动时，导体棒ab的速度解得v=

mg(R+r)(sinθ+μcosθ)

B2L2

（3）磁感应强度大小随时间变化的表达式为B=

B0d0

v0t+d0

点评：产生感应电流的条件是磁通量变化为零；导体切割磁感线产生感应电动势时，导体相当于电源，注意应用闭合电路欧姆定律，在涉及导体的运动时，注意分析安培力的大小和方向．