Question

17．如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r．地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T．若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的有（　　）

• A． 卫星B的周期为$\frac{Tt}{T+t}$
• B． 卫星B的周期为$\frac{2Tt}{T+t}$
• C． 在地球两极，地表重力加速度g=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{{T^2}{R^2}}}$
• D． 由题目条件可以求出卫星B的轨道半径

Answer 1

分析 A是地球同步卫星，其运行周期等于地球自转周期T．当卫星B比A多转半周时，A、B第一次相距最远．由此求得卫星B的周期．对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可求得地球的质量．在地球两极，根据万有引力等于重力，可求得地表重力加速度g．根据开普勒第三定律可求得卫星B的轨道半径．

解答 解：AB、卫星A的运行周期等于地球自转周期T．设卫星B的周期为T′．当卫星卫星B比A多转半周时，A、B第一次相距最远，则有：$\frac{2π}{T′}$t-$\frac{2π}{T}$t=π，解得：T′=$\frac{2Tt}{T+2t}$．故AB错误．
C、对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得地球的质量：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
在地球两极，据万有引力等于重力，可得：m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
联立解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$，故C正确．
D、根据开普勒第三定律得：$\frac{{r}^{3}}{{r}_{B}^{3}}$=$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$，r、T已知，T′能求出，可知能求出卫星B的轨道半径r_B．故D正确．
故选：CD

点评 本题是万有引力定律和圆周运动知识的综合应用．关键是要掌握万有引力等于向心力，以及万有引力等于重力这两条基本思路．