Question

8．用折射率为n=$\sqrt{2}$的透明物质做成的内外半径分别为a和b的空心球，空心内表面上涂上能完全吸收光的物质．现有一束平行光射向此球，求：
（ⅰ）要想使射入球内的折射光线都被内表面吸收，a和b之间必须满足什么条件；
（ⅱ）对不同条件下的a、b，分别求出被吸收掉的光束的横截面积为多大．（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来入射平行光线的横截面积，本题不考虑透明物质的吸收和外表面的反射）

Answer 1

分析 （ⅰ）要想使射入球内的折射光线都被内表面吸收，必须使与外表面相切的光线进入透明物质内时折射光线与内表面相切，根据几何知识求出该光线的折射角，由几何关系求a和b之间必须满足什么条件；
（ⅱ）①若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，进入空心球内的光线不能被完全吸收．②若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，凡是进入空心球内的光线都能被全部吸收，根据几何知识和折射定律结合解答．

解答 解：（i）如图，假设射向P点的光线经过折射后刚好与内表面上Q点相切，则有
  sinβ=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
在△OPQ中，sinβ=$\frac{a}{b}$
解得 a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b
判断可知，只要满足条件：a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，就会使射入球内的折射光线都能被内表面吸收．
（ii）若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，进入空心球内的光线不能被完全吸收．
如图，P′Q′为内圆的切线，则有 $\frac{sinα}{sinγ}$=n
在△P′Q′O中，sinγ=$\frac{a}{b}$
在△P′MO中，sinα=$\frac{r}{b}$
解得 r=an=$\sqrt{2}$a
所求面积为 S=πr²=2πa²
②若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，凡是进入空心球内的光线都能被全部吸收，所以所求的面积由b的大小来决定，则所求的面积为 S=πb²．
答：
（i）只要满足条件：a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，就会使射入球内的折射光线都能被内表面吸收．
（ii）若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，被吸收掉的光束的横截面积为2πa²，若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，被吸收掉的光束的横截面积为πb²．

点评 解决本题的关键作出光路图和临界光线，根据光路图，通过折射定律和几何关系进行求解．