Question

4．如图所示，在足够高的光滑水平台面上静置一质量为m的长木板A，A右端用轻绳绕过光滑的轻质定滑轮与质量也为m的物体C栓接．当C从静止开始下落距离h时，在木板A的最右端轻放一质量为4m的小铁块B（可视为质点），最终B恰好未从木板A上滑落．A、B间的动摩擦因数μ=0.25，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，求：
（1）C由静止下落距离h时，A的速度大小v_o；
（2）木板A的长度L；
（3）若当铁块B轻放在木板A的最右端的同时，对B加一水平向右的恒力F=7mg，其他条件不变，求 B滑出A时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对A、C系统，由动能定理可以求出A的速度；
（2）绳绷紧后，根据牛顿第二定律对AC系统列式，可知AC向右匀速运动．B向右匀加速运动，根据牛顿第二定律求得B的加速度．由公式v=at求出从绳绷紧至二者共速所经过的时间，再由运动学公式求出二者相对位移大小，即为木板A的长度．
（3）应用牛顿第二定律求出物体的加速度，然后应用匀变速直线运动的运动规律可以求出B的速度．

解答 解：（1）对A、C系统，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$•2mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{gh}$；
（2）B放在A上后，设A、C仍一起加速运动，
由牛顿第二定律得：mg-μ•4mg=ma，解得：a=0，
则B放在A上后，A、C以速度v₀做匀速直线运动，
B做匀加速直线运动，加速度：a_B=$\frac{μ•4mg}{4m}$=0.25g，
经时间t₀后，A、B、C共速，且B刚好运动至木板A的左端，
则：v₀=a_Bt₀，木板A的长度：L=v₀t₀-$\frac{1}{2}$v₀t₀，解得：L=2h；
（3）三者共速前，A、C做匀速直线运动，B做匀加速直线运动，
a_B1=$\frac{F+μ•4mg}{4m}$=2g，t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{B1}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
△x₁=x_AC-x_B=v₀t₁-$\frac{1}{2}$v₀t₁=$\frac{1}{4}$h，
共速后，A、B、C全都向右加速运动，
加速度：a_B2=$\frac{F-μ•4mg}{4m}$=$\frac{3}{2}$g，a_AC=$\frac{mg+μ•4mg}{2m}$=g，
△x₂=△x₁=$\frac{1}{2}$（a_B2-a_AC）t₂²，解得：t₂=$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
物体B的速度：v_B2=v₀+a_B2t₂=$\frac{5}{2}$$\sqrt{gh}$；
答：（1）C由静止下落距离h时，A的速度大小v_o为$\sqrt{gh}$；
（2）木板A的长度L为2h；
（3）B滑出A时的速度大小为$\frac{5}{2}$$\sqrt{gh}$．

点评 本题考查了求速度与木板长度问题，考查了牛顿第二定律的应用，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．