Question

4．如图所示，一轻弹簧一端同定在倾角为37°的固定光滑直轨道AD的底端AB处，另一端若自由伸长则位于C点，另一端若固定连接一质量为m的小木块，小木块处于B点时恰静止．直轨道与-半径为r=0.5R的光滑圆弧轨道相切于D点，E点为圆弧轨道的最高点（且过E点的切线水平）．BC=CD=R，A、B、C、D、E均在同一竖直面内．质量为m的一小铁块自D点由静止开始下滑，到达B点后与小木块碰撞，碰撞时间极短，碰撞后共同压缩弹簧，此后运动过程中小铁块与小木块恰不分离．轻弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g，（取sin37°=0.6．cos37°=0.8）求：
（1）小铁块即将与小木块碰撞时的速率为多大；
（2）小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为多大；
（3）若小铁块具有沿直线轨道向下的初速度，小铁块的初速度至少为多大．与小铁块碰撞后，才能沿着圆弧轨道运动到E点．

Answer 1

分析 （1）小铁块沿直轨道从D点滑到B点的过程，运用机械能守恒定律求小铁块即将与小木块碰撞时的速率．
（2）小铁块与小木块碰撞时间极短，系统的动量守恒，由动量守恒定律求出碰后共同速度．再对碰后过程，运用机械能守恒定律求小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能．
（3）与小木块碰撞后，要能沿着圆弧轨道运动到E点，到达E点时重力提供向心力．根据机械能守恒定律列式得到小铁块即将与小木块碰撞时的速率表达式，由动量守恒定律得到小铁块与小木块碰后的速率表达式．再对碰后小铁块与小木块分离后沿CDE轨道运动到E点的过程，由机械能守恒定律列式．在E点，根据牛顿第二定律列式，联立可解．

解答 解：（1）小铁块沿直轨道下滑时，根据机械能守恒定律有
   mg•2Rsin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可得 v₁=$\sqrt{2.4gR}$
（2）小铁块与小木块碰撞前后，由于碰撞时间极短，动量守恒，取沿斜面向下为正方向，由动量守恒定律有
   mv₁=2mv₂．
碰后，小铁块与小木块共同压缩弹簧，直至速度减小至零后被反间向上运动，当轻弹簧恰恢复原长时，小铁块与小木块即将分离，故此时小铁块和小木块的速度均为零，根据机械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$+E_p=2mgRsin37°
解得小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为 E_p=0.6mgR
（3）设小铁块的初速度为v₀．小铁块沿直轨道下滑时，根据机械能守恒定律有 
   $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg•2Rsin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{′2}$
小铁块与小木块碰撞过程，由动量守恒定律有
   mv₁′=2mv₂′
碰后，小铁块与小木块共同压缩弹簧，直至速度减小至零后被反间向上运动，当轻弹簧恰恢复原长时，小铁块与小木块即将分离，故此时小铁块和小木块的速度均为零，根据机械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{′2}$+E_p=2mgRsin37°+$\frac{1}{2}•2m{v}_{3}^{2}$
小铁块与小木块分离后沿CDE恰好运动到E点的过程，由机械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$=mg（Rsin37°+rcos37°+r）+$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在最高点E，由重力等于向心力有
   mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{r}$
联立解得  v₀=$\sqrt{14gR}$
答：
（1）小铁块即将与小木块碰撞时的速率为$\sqrt{2.4gR}$；
（2）小铁块即将与小木块碰撞时弹簧的弹性势能为0.6mgR；
（3）小铁块的初速度至少为$\sqrt{14gR}$，与小铁块碰撞后，才能沿着圆弧轨道运动到E点．

点评 本题是多过程问题，要分析清楚铁块和木块的运动过程，灵活选择研究的过程，把握每个过程的物理规律．要知道圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力．