Question

15．如图所示，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止在该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为4R，重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后的两球从M点飞出时速度大小；
（2）小球A冲进轨道时速度的大小．

Answer 1

分析 （1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，根据高度2R和水平距离2R求出速度v．
（2）根据动量守恒，两球碰撞后的速度，小球A冲进轨道过程中，只有重力做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球A冲进轨道时速度v_A的大小

解答 解：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，则有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}$
平抛运动的初速度为：v=$\frac{4R}{t}=2\sqrt{gR}$
（2）根据动量守恒，两球碰撞过程有：
    mv₁=2mv
小球A在圆管内运动过程，机械能守恒：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}+mg•2R$
解得：$v=2\sqrt{5gR}$
答：（1）粘合后的两球从M点飞出时速度大小为$2\sqrt{gR}$；
（2）小球A冲进轨道时速度的大小为$2\sqrt{5gR}$．

点评 本题是平抛运动，动量守恒和机械能守恒定律等知识的综合应用，按程序法进行分析，要抓住两个过程间速度的关系