Question

9．一水平传送带以恒定速度v₀运动，若使该传送带改做加速度大小为a的匀减速运动，并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将一支粉笔头放在传送带上并存在相对滑动．已知粉笔头与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，且有μ＜$\frac{a}{g}$，求粉笔头在传送带上能留下的划线长度和相对于传送带运动的位移．

Answer 1

分析 粉笔头放在传送带时，划线的长度等于传送带与粉笔头的相对位移大小，根据牛顿第二定律求出粉笔头的加速度．粉笔头先做匀加速运动，速度与传送带相同后，根据传送带的加速度与两者静止时粉笔头最大静摩擦力相比较，判断粉笔头的运动情况，根据位移公式和位移关系求解该粉笔头在传送带上能留下的划线的长度．

解答 解：传送带做匀减速运动，粉笔头放在传送带后先做匀加速运动，加速度为：a′=$\frac{μmg}{m}$=μg
设经过时间t粉笔头的速度与传送带相同，则有：
v=a′t=v₀-at
得：t=$\frac{{v}_{0}}{a+μg}$，v=$\frac{μg{v}_{0}}{a+μg}$
划线长度为：△s=s_带-s_粉=（v₀t-$\frac{1}{2}$at²）-$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2（a+μg）}$
粉笔头与传送带共速后，由于μ＜$\frac{a}{g}$，有 μmg＜ma，传送带继续做匀减速运动，粉笔头也做匀减速运动，直到静止．
故该段过程传送带位移为：s₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$
该过程粉笔头的位移为：s₂=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$
此过程两者相对位移大小为：△s′=s₂-s₁=$\frac{（a-μg）μg{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉笔头相对于传送带运动的位移为：△s_总=△s-△s′=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉笔头在传送带上能留下的划线长度为：L=△s_总=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
答：粉笔头在传送带上能留下的划线长度和相对于传送带运动的位移都是$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$．

点评 本题中粉笔头在传送带留下的划线的长度等于两者相对位移大小，分析粉笔头的运动情况是关键．