Question

7．某大学天文学社招募新社员，需要解决以下问题才能加入，请你尝试一下．已知土星质量为M，半径为R，土星的卫星“土卫一”距土星表面高度为H，万有引力常量为G，质量为M、m相距为L的两物体间引力势能公式为E_p=$\frac{-GMm}{L}$．求：
（1）土卫一的绕行速度v₁；
 （2）土星的第二宇宙速度v₂，即物体脱离火星引力所需的发射速度．（提示：物体在只受万有引力作用下运动满足机械能守恒定律．）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动运动向心力即可求土卫一的绕行速度；
（2）根据机械能守恒定律求出脱离火星要克服火星引力做功，根据势能表达式求解火星的发射速度．

解答 解：（1）根据万有引力定律，结合引力提供向心力，则有：$\frac{GMm}{{（R+H）}^{2}}$=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{R+H}$
得到：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$
（2）发射的过程符合机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{GMm}{R}$=0+0
得到：v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
答：（1）土卫一的绕行速度$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$；
 （2）土星的第二宇宙速度v₂，即物体脱离火星引力所需的发射速度$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$．

点评 本题要求能够根据引力势能的表达式，写出飞船在近地点和远地点的机械能的表达式，根据飞船在椭圆轨道上机械能守恒，进行运算．