Question

3．发射同步卫星需要有高超的技术，一般先用多级火箭，将卫星送入近地圆形轨道，此轨道称为初始轨道；当卫星飞临赤道上空时，控制火箭再次点火，短时间加速，卫星就会按椭圆轨道（也称转移轨道）运动；当卫星飞临远地点时，再次点火加速，卫星就最后进入同步轨道．如图所示为某次同步卫星发射的轨道示意图，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B．假设A距地面高度为h，卫星在同步轨道上飞行n圈所用的时间为t，地球表面的重力加速度为g，地球半径R，试求：
（1）卫星在初始轨道上稳定运行时，经过A点的加速度a_A的大小；
（2）卫星在同步轨道上稳定运行时的速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，以及牛顿第二定律求出经过A点的加速度大小．
（2）根据周期的大小，根据万有引力提供向心力，结合周期与线速度的关系求出卫星在同步轨道上稳定运行时的速度v的大小．

解答 解：（1）设地球的质量为M，卫星的质量为m，
卫星在A点：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m{a}_{A}$，
对地面上质量为m₀的物体：$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
解得${a}_{A}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$．
（2）卫星同步轨道上飞行的周期：T=$\frac{t}{n}$，
设同步轨道半径为r，则有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
又v=$\frac{2πr}{T}$，
由以上各式解得v=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．
答：（1）经过A点的加速度a_A的大小为$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）卫星在同步轨道上稳定运行时的速度v的大小为$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力、万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用．