Question

如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图．在Oxy平面的第一象限，存在以x轴y轴及双曲线y=

L2

4x

的一段（0≤x≤L，0≤y≤L）为边界的匀强电场I；在第二象限存在以x=-L； x=-2L；y=0；y=L的匀强电场II．两个电场大小均为E，不计电子所受重力．求
（1）从电场I的边界B点处由静止释放电子，电子离开MNPQ时的位置；
（2）由电场I的AB曲线边界处由静止释放电子离开MNPQ时的最小动能；
（3）若将左侧电场II整体水平向左移动

L

n

（n≥1），要使电子从x=-2L，y=0处离开电场区域II，在电场I区域内由静止释放电子的所有位置．

Answer 1

分析：（1）根据数学知识求出B点距离y轴的距离．由动能定理求出电子从B运动到C时的速度．电子离开第一象限电场后，先做匀速直线运动，进入第二象限电场后做类平抛运动：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式求出水平位移．
（2）设从AB曲线边界处释放位置坐标为（x，y），再根据动能定理和类平抛运动的分解方法，求出电子从第二象限射出电场的位置．对全过程应用动能定理，得到电子离开MNPQ时的动能与x的关系，由数学知识求出最小的动能．
（3）设释放位置坐标为（x，y）．若将左侧电场II整体水平向左移动

L

n

，要使电子从x=-2L，y=0处离开电场区域II，电子在电场区域II中类平抛运动通过的水平距离为L-

L

n

，竖直距离为y，运用同样的方法得到所有位置坐标方程．

解答：解：
（1）由题，B点纵坐标y_B=L，根据双曲线方程y=

L2

4x

得到，横坐标x_B=

L

4

电子从B运动到C过程，根据动能定理得
  eE

L

4

=

1

2

mv²，
电子在MNPQ区域做类平抛运动，
  水平方向：s=vt，
  竖直方向：L=

1

2

at²，a=

eE

m

 解得s=L．即电子从P点射出．
（2）设释放位置坐标为（x，y），则有
  eEx=

1

2

mv²，
   s=vt，
   y=

1

2

at²=

eE

2m

t2
得到y=

s2

4x

又y=

L2

4x

，解得s=L
即所有从边界AB上静止释放的电子均从P点射出．
从边界AB出发到P点射出的全过程，由动能定理得：
    E_k=eE（x+y）
又y=

L2

4x

，得到
E_k=eE（x+

L2

4x

），根据数学知识得知，当x=y=

L

2

时，动能E_k有最小值E_k=eEL
（3）设释放位置坐标为（x，y），eEx=

1

2

mv²，L-

L

n

=vt，y=

1

2

at²a=

eE

m

，
解得：y=

L2

4x

(1-

1

n

)2
答：
（1）从电场I的边界B点处由静止释放电子，电子从P点射出．
（2）由电场I的AB曲线边界处由静止释放电子离开MNPQ时的最小动能是eEL；
（3）若将左侧电场II整体水平向左移动

L

n

（n≥1），要使电子从x=-2L，y=0处离开电场区域II，在电场I区域内由静止释放电子的所有位置坐标方程为y=

L2

4x

(1-

1

n

)2．

点评：本题中电子先加速后偏转，基本方法是动能定理和运动的分解，难点在于数学知识的应用求极值和轨迹方程．