(20分)火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度T1、压强p1的炽热高压气体在燃烧室内源源不断生成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压p2的环境。假设燃气可视为理想气体,其摩尔质量为μ,每摩尔燃气的内能为u=cVT(cV是常量,T为燃气的绝对温度)。在快速流动过程中,对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体,可以认为它与周围没有热交换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强p、温度T和密度ρ,它们的数值随着流动而不断变化,并满足绝热方程(恒量),式中R为普适气体常量,求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。
解析:
于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面与,它们的面积分别为和,由题意,,以其间管道内的气体为研究对象,如图所示.设经过很短时间,这部分气体流至截面与之间,间、间的微小体积分别为、,两处气体密度为、,流速为、.气流达到稳恒时,内部一切物理量分布只依赖于位置,与时间无关.由此可知,尽管间气体更换,但总的质量与能量不变。
先按绝热近似求喷气口的气体温度。质量守恒给出
, (1)
即气体可视为由气体绝热移动所得.事实上,因气流稳恒,气体流出喷口时将再现气体状态.对质量的气体,利用理想气体的状态方程
(2)
和绝热过程方程
, (3)
可得
. (4)
再通过能量守恒求气体的喷射速率.由(1)式及,可得
, (5)
再利用(1)、(3)式,知,因, ,故
. (6)
整个体系经时间的总能量(包括宏观流动机械能与微观热运动内能)增量为部分与部分的能量差.由于重力势能变化可忽略,在理想气体近似下并考虑到(6)式,有
. (7)
体系移动过程中,外界做的总功为
. (8)
根据能量守恒定律,绝热过程满足
, (9)
得
, (10)
其中利用了(2)、(4)两式。
评分标准:本题20分。
(2)式1分,(3)式2分,(4)式3分,(6)式1分,(7)式6分,(8)式4分,(9)式1分,(10)式2分。
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