Question

14．如图所示，竖直平面内的轨道由足够长的光滑斜面轨道AB和半径为R的光滑半圆形轨道BD连接而成，B为半圆形轨道的最低点，D为半圆形轨道的最高点，重力加速度为g，让质量为m的小球从斜面上某点由静止开始释放：
（1）若小球的释放点离圆形轨道最低点B的高度为h₁=3R，求：小球通过半圆形轨道的最高点D时轨道对小球的压力F_N的大小．
（2）要使小球能够通过半圆形轨道的最高点D，问：小球的释放点离圆形轨道最低点B的高度h应满足什么条件？
（3）要使小球在半圆形轨道上离最低点B高为h₃=$\frac{5R}{3}$处的C点脱离圆轨道，求：小球的释放点离圆形轨道最低点B的高度h₂应为多大？

Answer 1

分析 （1）从小球开始运动到到达D点过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出小球到达D点的速度，在D点由牛顿第二定律可以求出作用力．
（2）求出小球通过最高点时的临界速度，然后应用机械能守恒定律求出释放点的最小高度，然后确定其范围．
（3）由牛顿第二定律求出小球到达C点的速度，然后应用机械能守恒定律求出释放点的高度．

解答 解：（1）小释放小球到D点过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}$mv²，
在D点，由牛顿第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_N=mg；
（2）小释放小球到D点过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²，
小球到达D点速度最小时，重力提供向心力，
在D点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
解得：h=2.5R，
要使小球能够通过半圆形轨道的最高点D，h≥2.5R；
（3）小球从C点脱离轨道，在C点轨道对小球的作用力为零，受力如图所示：
由几何知识可知：cosθ=$\frac{\frac{5R}{3}-R}{R}$=$\frac{2}{3}$，
在C点，由牛顿第二定律得：mgcosθ=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
小释放小球到C点过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（h₂-$\frac{5R}{3}$）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：h₂=2R；
答：（1）小球通过半圆形轨道的最高点D时轨道对小球的压力F_N的大小为mg；
（2）小球的释放点离圆形轨道最低点B的高度h应满足的条件是：h≥2.5R；
（3）小球的释放点离圆形轨道最低点B的高度h₂应为2R．

点评 本题考查了机械能守恒定律的应用，分析清楚小球的运动过程，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可解题，解题时注意小球做圆周运动临界条件的应用．