Question

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g。求：

（1）    质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁;

（2）    弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p;

（3）    已知地面欲睡面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO^-。在角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

Answer 1

.解析：此题考查平抛运动规律、牛顿运动定律、竖直面内的圆周运动、机械能守恒定律等知识点。

（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则

(1)

解得      (2)

(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有

    …………………..(3)

由（2）（3）得

………………….(4)

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO’的水平距离为x₁，由平抛规律有

………………………..(5)

………………………(6)

由 （5）（6）两式得………………..(7)

当鱼饵的质量为时，设其到达管口C时速度大小为V₂，由机械能守恒定律有

…………………..(8)

由 （4）（8）两式解得……………………..(9)

质量为的鱼饵落到水面时上时，设离OO’的水平距离为x₂则

……………………………..(10)

由（5）（9）（10）解得：

鱼饵能够落到水面的最大面积S，S=(πx₂²-πx₁²)= πR²（或8.25πR²）。