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18.小明站在高出水平地面h=0.2m的台阶上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有可看成质点的质量为m=0.6Kg的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动,当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行的水平距离S=0.8m后落地,如图所示.已知握绳的手离台面高度与绳长相等为L=0.6m,重力加速度g=10m/s2,忽略手的运动半径和空气阻力.
求:(1)绳断时球的速度大小;
(2)绳能承受的最大拉力;
(3)保持手的位置不动,只缩短绳长(绳承受的最大拉力不变)使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,新绳长应为多少?

分析 (1)绳断后,小球做平抛运动,根据平抛运动的高度求出时间,根据水平位移和时间求出绳断时球的速度大小.
(2)根据在最低点,合力提供向心力,运用牛顿第二定律求出最大拉力.
(3)根据最大拉力,通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系,根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式,通过数学方法二次函数求极值,求出l为多少时,x最大.

解答 解:(1)设绳断后球做平抛运动的时间为t1
竖直方向上:$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$,解得:${t}_{1}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}=0.2s$
水平方向上:s=v1t1
解得:${v}_{1}=\frac{0.8}{0.2}=4m/s$.
(2)设绳能承受的最大拉力为Fm.,在最低点,根据向心力公式得:
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
解得Fm=22N.
(3)设绳长为l,绳断时球的速度为v2
有:${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$,
绳断后球做平抛运动,竖直位移为L+h-l,水平位移为x,时间为t2
有:$L+h-l=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$,x=v2t2
得$x=\sqrt{\frac{8l(1.6-2l)}{3}}$
当l=0.4m时,x有极大值${x}_{max}=\sqrt{0.85}m$=0.92m.
答:(1)绳断时球的速度大小为4m/s.
(2)绳能承受的最大拉力为22N.
(3)要使球抛出的水平距离最大,绳长应为0.4m,最大水平距离0.92m.

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动,关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律,以及圆周运动向心力的来源.

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