Question

7．如图所示，在竖直平面内放置一长为L的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场的复合场．匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为$\frac{mg}{q}$．电磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度v₀垂直于左边界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内自由运动，最后从左边界飞离电磁场．设运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力．求：
（1）玻璃管进入磁场后小球向上运动加速度的大小；
（2）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；
（3）通过计算求出小球离开磁场时的速度方向．

Answer 1

分析 （1）根据对小球受力与运动的分析，可知，小球做类平抛运动，对竖直分运动，根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（2）根据电场力与重力平衡，可确定电场力，从而求出加速度．并由运动学公式，可求出小球运动到b端的速度大小；
（3）根据左手定则来确定洛伦兹力的方向，从而画出粒子的运动轨迹，并由牛顿第二定律与几何关系来确定，即可求解．

解答 解：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动 或小球做类平抛运动；
对竖直分运动，根据牛顿第二定律，有：
qv₀B=ma_y
解得：${a}_{y}=\frac{q{v}_{0}B}{m}$
（2）由E=$\frac{mg}{q}$得，Eq=mg即重力与电场力平衡，所以小球在管中运动的加速度为：
a=$\frac{{F}_{y}}{m}$=$\frac{q{v}_{0}B}{m}$；
设小球运动至b端时的y方向速度分量为v_y，则：${v}_{y}^{2}$=2aL
所以小球运动至b端时速度大小为：v=$\sqrt{\frac{2B{v}_{0}q}{m}L+{v}_{0}^{2}}$
（3）设小球在管中运动的时间为t，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示，
t时间内玻璃管的运动距离x=v₀t
由牛顿第二定律得：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
由几何关系得：sinα=$\frac{x-{x}_{1}}{R}$
因为，$\frac{{x}_{1}}{R}$=$\frac{{v}_{y}}{v}$
所以有：x₁=$\frac{{v}_{y}}{v}$R=$\frac{q{v}_{0}Bt}{mv}$•$\frac{mv}{qB}$=v₀t=x
解得：sinα=0
故α=0°，即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左
答：（1）玻璃管进入磁场后小球向上运动加速度的大小为$\frac{q{v}_{0}B}{m}$；
（2）则小球从玻璃管b端滑出时的速度大小为$\sqrt{\frac{2B{v}_{0}q}{m}L+{v}_{0}^{2}}$；
（3）则小球离开场时的运动方向与左边界的夹角为0．

点评 考查粒子做类平抛运动的处理规律，以及粒子做匀速圆周运动的处理方法，掌握牛顿第二定律与几何关系的综合应用．