Question

如图所示的滑轮，它可以绕垂直于纸面的光滑固定水平轴O转动，轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为3m的重物，另一端系一质量为m，电阻为r的金属杆．在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为Bo的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，求：
（1）重物匀速下降的速度v；
（2）重物从释放到下降h对的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）若将重物下降h时的时刻记作t=0，从此时刻起，磁感应强度逐渐减小，若此后金属杆中恰好不产生感应电流，则磁感应强度B怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

（1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．
此时回路中产生的感应电动势为 E=B₀Lv，
则棒所受的安培力 F_安=B₀IL=B₀L

B0Lv

R+r

=

B 20 L2v

R+r

对整体有：3mg=mg+F_安，
联立解得 v=

2mg(R+r)

B 20 L2

（2）重物从释放到下降h的过程中，由能量守恒得
 3mgh=mgh+

1

2

(m+3m)v2+Q_总
电阻R中产生的焦耳热Q_R=

R

R+r

Q总
由以上式子解得，Q_R=

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 40 L4

]
（3）当回路中总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒将导轨做匀加速运动．
则有
  3mg-mg=（3m+m）a
B₀Lh=BL（h+vt+

1

2

at2）
解得 B=

4 B 30 L2h

4 B 20 L2h+8mg(R+r)t+ B 20 L2gt2

答：
（1）重物匀速下降的速度v是

2mg(R+r)

B 20 L2

；
（2）重物从释放到下降h对的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R是

R

R+r

[2mgh-

8m3g2(R+r)2

B 40 L4

]．
（3）金属杆中恰好不产生感应电流时，磁感应强度B随时间t变化的关系式是 B=

4 B 30 L2h

4 B 20 L2h+8mg(R+r)t+ B 20 L2gt2

．