Question

在直角坐标系y轴右侧有相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，电场方向沿y轴负方向，电场强度大小为E．一质量为m、电荷量为q的正粒子（重力不计）从坐标原点O沿x轴正方向做直线运动，运动到A点时撤去电场，当粒子在磁场中运动到距离原点O最远处P点（图中未标出）时，撤去磁场，同时加另一匀强电场，其方向沿y轴负方向，最终粒子垂直于y轴飞出．已知A点坐标为（a，0），P点坐标为((1+

2

2

)a，(1+

2

2

)a)．求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径．
（2）磁场的磁感应强度艿和粒子运动到彳点时速度v的大小．
（3）整个过程中电场力对粒子做的功．
（4）粒子从原点D开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间．

Answer 1

分析：（1）粒子先沿x轴正方向做直线运动，运动到A点时撤去电场后作匀速圆周运动，运动到P点后，撤去磁场后，PQ过程的逆过程可看做类平抛运动，画出轨迹，由几何知识求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径．
（2）OA段粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力二力平衡，列式；AP段粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律列式；即可求解．
（3）全过程中电场力只在PQ段对粒子做功，由动能定理求解电场力做功．
（4）分段求时间．根据时间与周期的关系，求出在磁场中运动的时间．根据类平抛运动的规律求出电场中运动的时间，即可求得总时间．

解答：解：（1）粒子的运动轨迹如图，由P点距原点最远可知，粒子做圆周运动的圆心在OP连线上．设AP段粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，由几何关系得：R=a  ①
（2）OA段粒子做匀速直线运动，由二力平衡得：
  qE=qvB  ②
设AP段粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得：
 qvB=m

v2

R

  ③
①②③三式联立得：B=

mE qa

  ④
                v=

qEa m

  ⑤
（3）PQ过程的逆过程可看做类平抛运动，故粒子从y轴射出时的速度为v_x．
根据几何知识得知，图中θ=45°．
  v_x=vsinθ  ⑥
全过程中电场力只在PQ段对粒子做功，由动能定理得：
  W=

1

2

m

v

2 x

-

1

2

mv2  ⑦
  W=-

1

4

qEa  ⑧
（4）粒子做圆周运动的时间 t2=

3

8

T ⑩
 T=

2πm

qB

  （11）
粒子做类平抛运动的时间t₃=

x

vx

=

(1+ 2 2 )acos45°

qEa m sin45°

=（1+

2

2

）

ma qE

  （12）
粒子从原点O开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间t=t1+t2+t3=(2+

2

+

3π

4

)

ma qE

  （13）
答：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为a．
（2）磁场的磁感应强度为

mE qa

和粒子运动到P点时速度v的大小为

qEa m

．
（3）整个过程中电场力对粒子做的功为

1

4

qEa．
（4）粒子从原点D开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间为（2+

2

+

3π

4

）

ma qE

．

点评：带电粒子在匀强电场和磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．