Question

7．如图甲所示，间距为L=0.3m、足够长的固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角，左端M、P之间连接有电流传感器和阻值为R=0.4Ω的定值电阻．导轨上垂直停放一质量为m=0.1kg、电阻为r=0.20Ω的金属杆ab，且与导轨接触良好，整个装置处于磁感应强度方向垂直导轨平面向下、大小为B=0.50T的匀强磁场中．在t=0时刻，用一与导轨平面平行的外力F斜向上拉金属杆ab，使之从由静止开始沿导轨平面斜向上做直线运动，电流传感器将通过R的电流i即时采集并输入电脑，可获得电流i随时间t变化的关系图线，如图乙所示．电流传感器和导轨的电阻及空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g=10m/s²．

（1）求2s时刻杆ab的速度υ大小；
（2）求从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q；
（3）试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度a的大小．

Answer 1

分析 （1）根据2s时刻的电流通过闭合电路欧姆定律求出感应电动势，从而根据E=BLv求出杆ab的速度大小．
（2）根据法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势，从而得出平均电流，根据q=It求出2秒内通过金属杆ab横截面的电量q．也可以通过I-t图线与时间轴所围成的面积表示电量进行求解．
（3）通过闭合电路欧姆定律，结合切割产生的感应电动势大小公式，推导出速度与时间的关系，看是否成正比关系，从而判断金属杆是否做匀加速直线运动．通过v=at得出加速度的大小．

解答 解：（1）设2s时刻的速度为v₂，杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv₂
根据闭合电路欧姆定律有：E=i（ R+r ）
由以上两式解得：v₂=$\frac{i（R+r）}{BL}=\frac{0.5（0.4+0.2）}{0.5×0.3}m/s=2m/s$
（2）方法一：$q=\bar I△t=\frac{\bar E}{R+r}△t=\frac{BS}{△t（R+r）}△t=\frac{BS}{R+r}=\frac{{BL\frac{1}{2}a{t^2}}}{R+r}=0.5C$
方法二：由i-t图象可知：$q=\bar I△t=\frac{1}{2}×2.0×0.5C=0.5C$
（3）ab杆速度的表达式 v=$\frac{i（R+r）}{BL}=\frac{R+r}{BL}kt$；
因v与t是一次函数，故金属杆做匀加速直线运动，
其加速度大小a=$\frac{R+r}{BL}k=\frac{0.4+0.2}{0.5×0.3}×\frac{1}{4}m/{s^2}=1m/{s^2}$
答：
（1）2s时刻杆ab的速度υ大小为2m/s．
（2）从静止开始在2秒内通过金属杆ab横截面的电量q为0.5C．
（3）加速度a的大小为1m/s²．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，得到v的表达式来分析杆的运动情况是关键．