Question

如图所示，水平地面上方有一绝缘弹性竖直薄档板，板高h=3 m，与板等高处有一水平放置的小篮筐，筐口的中心距挡板s=1 m。整个空间存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T，而匀强电场未在图中画出；质量m=1×10^-3kg、电量q=﹣1×10^-3C的带电小球(视为质点)，自挡板下端的左侧以某一水平速度v₀开始向左运动，恰能做匀速圆周运动，若小球与档板相碰后以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中。(g取10m/s²，可能会用到三角函数值sin37°=0.6，cos37°=0.8)。试求：

(1)电场强度的大小与方向；

(2)小球运动的可能最大速率；

(3)小球运动的可能最长时间。

Answer 1

(1)小球做匀速圆周运动，则

　　　　　 2分

故　　　　　 1分

　　　　 1分

方向竖直向下　　　　 1分

(2)若小球速率最大，则运动半径最大，

如轨迹①所示

　 2分

　　　　 2分

由　　　 2分

　　　　1分

　　　 　　　 1分

(3)因为速度方向与半径垂直，圆心必在挡板所在的竖直线上。

　　 且

　　 小球与挡板碰撞n次后落入筐中，则有

　　

　　 ，故n可取0或1才能保证小球落入筐中　　　　　　

①　　 当n=0时，即为(2)问中的解

②　　 当n=1时，有

　 　　　　　2分

　　 可得，运动轨迹如由图中②所示

　　 或者，运动轨迹如由图中③所示

　　 以轨迹③运动，小球所花时间最长　 1分

则有

　　 　　　　　　　　　 2分

　　 　　　　　　　　　 2分

　　 故θ=53°，轨迹③运动对应的圆心角α=360°+(180°-53°)=487°

　　 运动最长时间为　　　 　　　2分