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15.如图,光滑水平地面上有一固定墙壁,紧靠墙面左侧停放一长为L=1m,质量为M=0.2kg的长木板,在距长木板左端为kL(0<k<0.5)处放置着A、B两小木块,A、B质量均为m=0.2kg.某时刻,A、B在强大内力作用下突然分开,分开瞬间A的速度为vA=4m/s,方向水平向左. B与墙壁碰撞瞬间不损失机械能,A、B与长木板间的动摩擦因数分别为μA=0.2和μB=0.3.
(1)求AB分离瞬间,B的速度v1
(2)若k=0.39,求A离开木板时,B的速度大小v2
(3)若最终B能够相对木板静止,则k应满足什么条件,并求出最终B所停位置距木板左端距离s和k的关系式.

分析 (1)在A、B分离瞬间,A、B系统动量守恒,根据动量守恒定律求解;
(2)在A离开木板前,B对木板向右的摩擦力大于A对木板向左的摩擦力,所以此时木板处于静止状态.对A,从与B分离到离开木板过程中,做匀减速直线运动,根据牛顿第二定律求解加速度,再结合运动学基本公式求解;
(3)先根据动能定理判断B能不能在撞墙前停止,再根据木板与B构成的系统动量守恒、能量守恒列式求解.

解答 解:(1)在A、B分离瞬间,A、B系统动量守恒,有
mvA=mv1
解得:v1=4m/s
(2)在A离开木板前,B对木板向右的摩擦力大于A对木板向左的摩擦力,所以此时木板处于静止状态.对A,从与B分离到离开木板过程中,做匀减速直线运动,有
μAmg=maA
解得:${a}_{A}=2m/{s}^{2}$
根据运动学基本公式得:
$kL={v}_{A}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$
解得:t=0.1s
此过程中,B与A的运动时间相同,假设此时B还没有撞到墙壁.有
μBmg=maB
解得:${a}_{B}=3m/{s}^{2}$
根据v2=v1-aBt
解得:v2=3.7m/s
而${s}_{B}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=0.385m<(1-k)L$
假设成立,即此时B速度为v2=3.7m/s
(3)假设B能在撞到墙壁前停止,则有:
$-{μ}_{B}mgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                                 
解得   s=5.3m>L,即B不可能在撞墙前停止.             
B撞到墙壁前瞬间速度为vB,则:
$-{μ}_{B}mg(1-k)L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                  
B撞墙以后后,若B刚好不滑落,则B滑至木板左端时恰好最终达到共同速度v,木板与B构成的系统动量守恒、能量守恒,有
mvB=(m+M)v,
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}(m+M){{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mgL$                          
解得$k=\frac{1}{3}$
即若木块B不从木板上滑落,需要满足:$k≤\frac{1}{3}$
若停在距左端为S处,则对木板与B,由能量守恒得:
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}(m+M){{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mg(L-s)$                    
解得 $s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$,即最终物块B停在距左端为$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$处.
答:(1)AB分离瞬间,B的速度v1为4m/s;
(2)若k=0.39,求A离开木板时,B的速度大小v2为3.7m/s;
(3)若最终B能够相对木板静止,则k应满足$k≤\frac{1}{3}$,最终B所停位置距木板左端距离s和k的关系式为$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$.

点评 本题综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律及运动学基本公式,关键是正确分析木块和木板的受力情况和运动情况,能选择合适的定理求解,难度较大.

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