Question

9．一长为L=1m的平板车静止在光滑的水平面上，其质量为M=0.5kg，一可以视为质点、质量为m=1kg的小物块以v₀=4m/s的初速度从左端滑上平板车，同时平板车受到一水平向右的恒力F．物块与平板车之间的动摩擦因数为μ=0.2，g=10m/s²．求：

（1）当恒力的大小为F=5N时，两者间的最大相对位移；
（2）恒力F在什么范围内取值，才能保证物块不能脱离平板车．

Answer 1

分析 （1）物体A滑上木板B以后，作匀减速运动，根据牛顿第二定律求出加速度，平板车做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，当小物块的速度与平板车的速度相等时，相对位移最大，根据运动学基本公式即可求解；
（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出拉力的最小值．另一种临界情况是A、B速度相同后，一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出拉力的最大值，从而得出拉力F的大小范围．

解答 解：（1）物体A滑上木板B以后，作匀减速运动，
有?mg=ma_A得a_A=?g=2 m/s²
平板车做匀加速直线运动，加速度a_B=$\frac{F+μmg}{M}$=$\frac{5+0.2×1×10}{0.5}$=14m/s²
当小物块的速度与平板车的速度相等时，相对位移最大，
设经过时间t，速度相等，则v₀-a_At=a_Bt
解得：t=$\frac{4}{2+14}$=0.25s
此过程中，物块运动的位移x₁=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$=4×0.25-0.0625m=0.0375m
小车的位移 x₂$\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$=0.4375m
则两者间的最大相对位移△x=x₂-x₁=0.4m．
（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v₁，则：
$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{A}}$=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{B}}$+L 
又：$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{A}}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{B}}$，可得：a_B=6m/s²  
再代入F+?mg=Ma_B得：F=Ma_B-?mg=1N     
若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1N．
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落．即有：F=（m+M）a，?mg=ma　
所以：F=3N
若F大于3N，A就会相对B向左滑下．
综上所述，力F应满足的条件是：1N≤F≤3N 
答：（1）当恒力的大小为F=5N时，两者间的最大相对位移为0.4m；
（2）恒力F在1N≤F≤3N范围内取值，才能保证物块不能脱离平板车．

点评 解决本题的关键理清物块在小车上的运动情况，抓住临界状态，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．