Question

10．有一质量为M，半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去一半径为$\frac{R}{2}$的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大．

Answer 1

分析 用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解，设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的引力为F，可以看作是剩余部分对质点的引力F₁与被挖小球对质点的引力F₂的合力，即F=F₁+F₂．
挖出小球的质量为：$M′=\frac{\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}M=\frac{M}{8}$
挖出小球对m的万有引力为：${F}_{2}^{\;}=G\frac{M′m}{（R+\frac{R}{2}）_{\;}^{2}}=G\frac{Mm}{18{R}_{\;}^{2}}$
而$F=G\frac{Mm}{4{R}_{\;}^{2}}$．故有：${F}_{1}^{\;}=F-{F}_{2}^{\;}=\frac{7GMm}{36{R}_{\;}^{2}}$
答：剩下部分对m的万有引力F为$\frac{7GMm}{36{R}_{\;}^{2}}$．

点评 本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体，其引力直接由公式得到．