Question

5．如图所示，一个半径为R=0.8m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.4．某时刻小球向右滑动经过环的最高点时，环对小球的滑动摩擦力大小为$\frac{1}{5}$mg，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²，求该时刻（结果可用根式表示）
（1）小球的速率；
（2）小球的加速度大小．

Answer 1

分析 根据滑动摩擦力的大小求出小球在最高点所受的弹力大小，结合牛顿第二定律求出小球的速率和加速度．

解答 解：滑动摩擦力f=μN=$\frac{1}{5}mg$，解得：N=$\frac{1}{2}mg$．
若环对球的弹力方向向上，根据牛顿第二定律得：
$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{1}{2}gR}=\sqrt{\frac{1}{2}×10×0.8}m/s=2m/s$，
若环对球的弹力方向向下，根据牛顿第二定律得：
$mg+N=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}=\sqrt{\frac{3×10×0.8}{2}}=2\sqrt{3}m/s$．
（2）当环对小球的弹力方向向上，小球的加速度大小为：
a=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{4}{0.8}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$．
当环对小球的弹力方向向下，小球的加速度大小为：
$a=\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{12}{0.8}m/{s}^{2}=15m/{s}^{2}$．
答：（1）小球的速率为2m/s或$2\sqrt{3}$m/s；
（2）小球的加速度大小为5m/s²或15m/s²．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，注意在最高点，环对球的弹力可能向上，可能向下．