Question

如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中不正确的是（　　）

• A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
• B．小球能够通过最高点时的最小速度为

  gR

• C．如果小球在最高点时的速度大小为2

  gR

  ，则此时小球对管道的外壁有作用力
• D．如果小球在最低点时的速度大小为

  5gR

  ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力

Answer 1

分析：圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．
小球在最高点时的速度大小为2

gR

时，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．
小球从最低点运动到最高点的过程中，只有重力做功，其机械能守恒．在最低点时的速度大小为

5gR

，根据机械能守恒定律求出小球到达最高点时的速度，再由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答：解：A、B、圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．故A正确，B错误．
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得：
mg+F=m

v2

R

，v=2

gR

，代入解得F=3mg＞0，方向竖直向下．
根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，故C正确．
D、设小球在最低点和最高点的速度分别为v₁、v₂．根据机械能守恒定律得
mg?2R+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m

v

2 1

将v₁=

5gR

代入，得到v₂=

gR

设管道对小球的弹力为N，方向向下．
则由牛顿第二定律得mg+N=m

v 2 2

R

，代入解得N=0，即小球通过最高点时与管道间无相互作用力，故D正确．
本题选错误的，故选B．

点评：本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为

gR

．