Question

15．滑板运动受到青少年的追棒，如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图．DB段为光滑的四分之一圆弧，AB段水平且粗糙恰与圆弧DB在B点相切，赛道固定在水平面上．一个质量为m的运动员（可视为质点）从赛道的A端以初动能E冲上水平赛道AB，并沿着赛道运动，然后由DB弧滑下后停在赛道AB段的中点．已知AB长为L，重力加速度为g，求：
（1）运动员的鞋底滑板与水平赛道AB间的动摩擦因数μ．
（2）为了保证运动员不从D端离开赛道，圆弧DB段的半径R至少是多大？
（3）若圆弧DB的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大运动员初动能，使得运动员冲上赛道后可以到达的最大离度是1.5R处，试求运动员的初动能并分析运动员能否最后停在水平赛道AB上．

Answer 1

分析 （1）对全程由动能定理可求得动摩擦因数；
（2）对到达D过程由动能定理可求得圆弧半径的最小值；
（3）对冲上轨道过程由动能定理及功能关系可求得运动员的最终位置．

解答 解：（1）运动员最终停在AB的中点，在此过程中，由动能定理可得：
-μmg（L+$\frac{L}{2}$）=-E
解得：μ=$\frac{2E}{3mgL}$；
（2）若运动员刚好到达D处，速度为零，由动能定理可得：
-μmgL-mgR=-E
解得BD圆弧半径至少为R=$\frac{E}{3mg}$；
（3）设运动员以初动能E′冲上轨道，可以达到最大高度为1.5R
由动能定理得：
-μmgL-1.5mgR=-E′
解得：E′=$\frac{7E}{6}$
运动员滑回B点时的动能为E_B=1.5mgR=$\frac{E}{2}$；
由于E_B＜μmgL=$\frac{2}{3}$E
故运动员将停在轨道上；
答：（1）运动员的鞋底滑板与水平赛道AB间的动摩擦因数μ为$\frac{2E}{3mgL}$．
（2）为了保证运动员不从D端离开赛道，圆弧DB段的半径R至少是$\frac{E}{3mg}$；
（3）最后停在水平赛道AB上．

点评 本题考查动量守恒定律及匀速直线运动规律，要注意正确选择研究对象及物理过程进行分析，才能正确选择物理规律求解．