Question

18．如图所示，虚线OM与y轴的夹角为θ=60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从y轴左侧平行于x轴射入磁场，入射点为P．粒子在磁场中运动的轨道半径为R．粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于Q点（图中未画出），且$\overline{OQ}$=R．不计粒子重力．求：
（1）粒子在磁场中运动的周期；
（2）P点到O点的距离；
（3）粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出轨道半径，然后求出周期．
（2）作出粒子运动轨迹，根据题意应用几何知识求出距离．
（3）根据粒子转过的圆心角与粒子做圆周运动的周期，根据t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$；
（2）设运动轨迹交虚线OM于A点，圆心为y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；
粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于Q点，设AQ与x轴的夹角为β．过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
AF=Rsinα，OF=$\frac{AF}{tan60°}$，EQ=$\frac{OF}{tanβ}$，OQ=AF+EQ，α=β，联立得到：sinα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$cosα=1，
解得：α=30°或：α=90°；
设P点到O点的距离为h，有：AF=Rsinα，h=R-OC，OC=CF-OF=Rcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
联立得到：h=R-$\frac{2}{\sqrt{3}}$Rcos（α+30°），
解得：h=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=30°），或：h=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R  （α=90°）；
（3）当α=30°时，粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{T}{12}$=$\frac{πm}{6qB}$，
当α=90°时，粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$；
答：（1）粒子在磁场中运动的周期为$\frac{2πm}{qB}$；
（2）P点到O点的距离为（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R 或：（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R；
（3）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{πm}{6qB}$或$\frac{πm}{2qB}$．

点评 本题考查了求粒子做圆周运到达周期、运动时间等问题，难度较大；根据几何关系求出带电粒子在磁场中的偏转角有两个，要注意分别进行求解．