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18.一士兵在训练,一根长l=5m的绳上端拴在O点,士兵抓住下端由静止摆下,运动到最低点时松手,而后落到地面上,O点右侧有一堵墙,墙与竖直方向的夹角为37°.为避免士兵撞到墙上,开始时,绳子与竖直方向的夹角θ不应超过多少?(结果用三角函数表示即可).

分析 士兵先做圆周运动后做平抛运动,恰好要撞到墙上时速度与墙面相切,且有x=(y+l)tan37°,根据机械能守恒和平抛运动的规律求解.

解答 解:设士兵运动到最低点时的速度为v,则由机械能守恒得:
mgl(1-cosθ)=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
松手后他做平抛运动,水平位移为:x=vt
竖直位移为:y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$
恰好撞到墙上时速度与墙面相切,则有:
vy=vtan37°=gt,t=$\frac{vtan37°}{g}$
且有:x=(y+l)tan37°.
代入得:$\frac{{v}^{2}tan37°}{g}$=($\frac{{v}^{2}ta{n}^{2}37°}{2g}$+l)tan37°
联立解得:cosθ=$\frac{7}{23}$,
即:θ=arccos$\frac{7}{23}$
答:为避免士兵撞到墙上,开始时,绳子与竖直方向的夹角θ不应超过arccos$\frac{7}{23}$.

点评 解决本题的关键是把握恰好撞到墙上时速度条件和位移条件,结合几何知识和运动学规律解答.

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