Question

如图所示，固定的光滑圆弧轨道ACB的半径为0.8m，A点与圆心O在同一水平线上，圆弧轨道底端B点与圆心在同一竖直线上．B点离水平地面的高度为0.8m．可视为质点的物块从轨道上的A点由静止释放，滑过B点后进入长为3.5m的水平传送带，传送带由电动机驱动按图示方向运转，传送带速度可以调节，不计物块通过轨道与传送带交接处的动能损失，物块质量1kg、与传送带间的动摩擦因数为0.1，（g取10m/s²，

23

=4.8）
（1）求物块从A点下滑到B点时速度的大小．
（2）求物块滑到B点时对轨道的压力大小．
（3）设传送带速度为v，物块从传送带上平抛出来的水平位移x，作出传送带速度从0增大到6m/s的x-v图象．（要有解答过程，然后作图）

Answer 1

分析：（1）物块从A点下滑到B点过程，只有重力做功，其机械能守恒，根据机械能守恒定律可求得物体到达B点时的速度；
（2）物块滑到B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得轨道对物块的支持力，再由牛顿第三定律求出物块对轨道的压力大小；
（3）根据物块到达B的速度与传送带速度的关系，分析物块的运动情况，根据动能定理和平抛运动的规律结合求解传送带速度从0增大到6m/s过程中，物块平抛运动的水平位移大小，再作出x-v图象．

解答：解：（1）物块从A点下滑到B点过程，根据机械能守恒定律得
   mgh_AB=

1

2

m

v

2 B

则得 v_B=

2ghAB

=

2×10×0.8

m/s=4m/s
（2）物块滑到B点时，根据牛顿第二定律得
   N-mg=m

v 2 B

r

得：N=mg+m

v 2 B

r

=10+1×

42

0.8

=30N
（3）若传送带静止时，设物体到达传送带右端时的速度大小为v₁，则根据动能定理得：
-μmgL=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

解得，v₁=3m/s
则当0≤v≤3m/s，物块在传送带一直做匀减速运动，物块从传送带上飞出时的速度为3m/s，
对于物块离开传送带平抛运动，时间为
  t=

2h g

=0.4s
水平位移大小为：x=v₁t=1.2m
若传送带的速度大于4m/s，设物块一直加速到传送带右端时的速度大小为v₂，则根据动能定理得：
  μmgL=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 B

解得，v₂=

23

m/s
平抛的水平位移为：x=v₂t=

23

×0.4m=1.92m
则3m/s＜v≤

23

m/s时，物块从传送带上飞出时的速度就等于传送带的速度，由x=vt知，x随v的增大而增大，两者成正比；

23

m/s≤v≤6m/s，物块从传送带上飞出时的速度为

23

m/s，平抛的水平位移为1.92m，保持不变．
故作出x-v图象如图．
答：
（1）物块从A点下滑到B点时速度的大小是4m/s；
（2）物块滑到B点时对轨道的压力大小为30N；
（3）作出x-v图象如图．

点评：本题难点在于对过程的分析，要弄清楚物体在传送带上运动的全过程，运用动能定理和平抛运动的规律进行求解并作图．