Question

9．如图所示，斜面高h=2m，一个可视为质点的小木块质量m=1kg，从最高点A沿固定斜面AC（倾角θ=53°）滑下并进入水平地面，木块与斜面、地面间的动摩擦因数均为0.5，在水平地面右端放置一个径r=0.4m的光滑半圆弧轨道，E、D在一条竖直线上，放置的位置可以调节，取重力加速度g=10m/s²，斜面与水平地面、水平地面与半圆弧轨道连接处为平滑连接．
（1）要使小木块能通过圆弧最高点，它在E点速度至少是多大？
（2）要使小木块能通过圆弧最高点，它在圆弧轨道的最低点D对地面的压力至少是多大？
（3）假定斜面高度h不变，改变斜面倾角θ，同时小木板质量m、动摩擦因数μ和圆弧半径r不变，要使小木块恰好能通过圆弧最高点，且通过圆弧最高点后刚好落在C点，求斜面倾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）对木块在最高点应用牛顿第二定律即可求得速度范围；
（2）对木块在DE上运动应用机械能守恒求得在D的速度范围，然后应用牛顿第二定律求得支持力范围，即可由牛顿第三定律求得压力范围；
（3）根据牛顿第二定律求得在E的速度，然后根据平抛运动规律求得CD长度，再对运动过程应用动能定理即可．

解答 解：（1）要使小木块能通过圆弧最高点，那么对木块在E点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{E}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{E}≥\sqrt{gr}=2m/s$；
（2）木块在光滑半圆轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=2mgr+\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}≥\frac{5}{2}mgr$；
对木块在D点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{r}≥5mg$
解得：F_N≥6mg=60N；
那么，由牛顿第三定律可知：在木块圆弧轨道的最低点D对地面的压力至少是60N；
（3）由（1）可知：小木块恰好能通过圆弧最高点的速度$v=\sqrt{gr}=2m/s$；
小木块从E到C做平抛运动，故有：$2r=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$CD=vt=2v\sqrt{\frac{r}{g}}=0.8m$；
那么对小木块从A到E的运动过程应用动能定理可得：$mg（h-2r）-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmgCD=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
所以，$tanθ=\frac{μmgh}{mg（h-2r）-μmgCD-\frac{1}{2}m{v}^{2}}$=$\frac{5}{3}$；
答：（1）要使小木块能通过圆弧最高点，它在E点速度至少是2m/s；
（2）要使小木块能通过圆弧最高点，它在圆弧轨道的最低点D对地面的压力至少是60N；
（3）假定斜面高度h不变，改变斜面倾角θ，同时小木板质量m、动摩擦因数μ和圆弧半径r不变，要使小木块恰好能通过圆弧最高点，且通过圆弧最高点后刚好落在C点，则斜面倾角的正切值为$\frac{5}{3}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．