Question

11．如图所示，坐标平面的第Ⅰ象限内存在大小为E、方向水平向左的匀强电场，第Ⅱ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．足够长的挡板MN垂直x轴放置且距原点O的距离为d．一质量为m、带电量为-q的粒子若自距原点O为L的A点以大小为v₀，方向沿y轴正方向的速度进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场．现该粒子仍从A点进入磁场，但初速度大小v=2v₀．粒子重力不计，该粒子击中挡板后立即被档板吸附．为使粒子进入电场后能垂直打在挡板上，求：
（1）粒子在A点刚进入磁场时，其速度v的方向与x轴正方向之间的夹角；
（2）粒子到达挡板上时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，对两次两次粒子过程分别运用洛伦兹力提供向心力，再结合几何关系即可；
（2）水平方向进入电厂后，两种情况粒子运动情况一样，运用动能定理解决即可．

解答 解：（1）设速度为v₀时进入磁场后做圆周运动的半径为r，设速度为v时进入磁场做圆周运动的半径r′
根据洛伦兹力提供向心力有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ①
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$ ②
可得：
r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$ ③
r′=$\frac{mv}{qB}$ ④
根据几何关系有：r=$\frac{L}{2}$ ⑤
根据已知有：v=2v₀ ⑥
联立①②③④⑤⑥式子可得：r′═$\sqrt{2}$L
有两种情况，轨迹如图所示，设其速度方向与x轴正方向之间的夹角为θ
由图中的几何关系有：cosθ═$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以可得：θ=45°或θ=135°
（2）为使粒子进入电场后能垂直打在挡板上，则要求粒子进入电场时速度方向与x轴正方向平行，设粒子到达挡板上时的速度大小为v′
如图所示．粒子进入电场后由动能定理有：-qEd=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$m（2v₀）²
得v′=$\sqrt{{4v}_{0}^{2}-\frac{2qEd}{m}}$
答：（1）粒子在A点刚进入磁场时，其速度v的方向与x轴正方向之间的夹角为45°或135°；
（2）粒子到达挡板上时的速度大小为$\sqrt{{4v}_{0}^{2}-\frac{2qEd}{m}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动和电场中的运动，磁场运动洛伦兹力提供向心力和几何关系结合，电场中粒子运动方向与电场线共线，运用动能定理解决，注意第一问有两种情况．