Question

9．如图所示，面积很大的水池，水深为H，水面上漂浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的一半，质量为m．开始时木块静止，有一半没入水中．现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦．试求：
（1）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功；
（2）整个过程中，力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据功能关系，力对木块做的功等于木块与水系统势能的增加量
（2）木块下降到池底，等效成有一个与木块同体积的水块与木块位置互换，求出水的势能增加量即为外力做功；

解答 解（1）在木块完全浸没过程中，木块的重力势能变化为
$△{E}_{P1}=-mg•\frac{a}{2}$
上式负号表示势能减少，水的重力势能变化可理解为，木块一半体积的水上移至水面上，这部分水质量为m，上升高度为$\frac{3a}{4}$，故水的重力势能变化为
$△{E}_{P1}=-mg•\frac{3a}{4}$
由功能关系知
${W}_{F}=△{E}_{P1}+△{E}_{p2}=\frac{mga}{4}$
故从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所作的功W_F为$\frac{mga}{4}$
（2）由于池水面积很大，故有在木块从开始到刚好没入水中的过程中，水面上升的高度可不计，即木块刚好没入水中时，水的深度可以认为还是H．
木块完全浸没后水增加的机械能为：mg•$\frac{3}{4}$a
从木块刚没入水中到压到池底过程，水的机械能增加为：2mg•（H-a）
因此从用力压木块到完全沉入池底过程中，水池的水机械能增加为：mg•$\frac{3}{4}$a+2mg•（H-a）=2mg（H-$\frac{5a}{8}$）．
故从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量为2mg（H-$\frac{5a}{8}$）；
而木块的重力势能减小量为mg（H-$\frac{a}{2}$），
那么力F做的功W=2mg（H-$\frac{5a}{8}$）-mg（H-$\frac{a}{2}$）=mg（H-0.75a）；
答：（1）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功为$\frac{mga}{4}$；
（2）整个过程中，力F所做的功为mg（H-0.75a）．

点评 本题关键是分析清楚木块和水的运动情况，抓住木块下降重力做功和同体积的水上升重力做功即可，然后根据功能关系列式求解